الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 & 4 \\ 3 & 5 & 5 \\ 9 & 10 & 6 \end{array}]$

خطوة 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

خطوة 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ 10 & 6 \end{array} |$

خطوة 2.1.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 5 \cdot 6 - 10 \cdot 5$

خطوة 2.1.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1.1

اضرب $5$ في $6$ .

$a_{11} = 30 - 10 \cdot 5$

خطوة 2.1.2.2.1.2

اضرب $- 10$ في $5$ .

$a_{11} = 30 - 50$

خطوة 2.1.2.2.2

اطرح $50$ من $30$ .

$a_{11} = - 20$

خطوة 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 9 & 6 \end{array} |$

خطوة 2.2.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 3 \cdot 6 - 9 \cdot 5$

خطوة 2.2.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.1

اضرب $3$ في $6$ .

$a_{12} = 18 - 9 \cdot 5$

خطوة 2.2.2.2.1.2

اضرب $- 9$ في $5$ .

$a_{12} = 18 - 45$

خطوة 2.2.2.2.2

اطرح $45$ من $18$ .

$a_{12} = - 27$

خطوة 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 9 & 10 \end{array} |$

خطوة 2.3.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 3 \cdot 10 - 9 \cdot 5$

خطوة 2.3.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1.1

اضرب $3$ في $10$ .

$a_{13} = 30 - 9 \cdot 5$

خطوة 2.3.2.2.1.2

اضرب $- 9$ في $5$ .

$a_{13} = 30 - 45$

خطوة 2.3.2.2.2

اطرح $45$ من $30$ .

$a_{13} = - 15$

خطوة 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ 10 & 6 \end{array} |$

خطوة 2.4.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = - 4 \cdot 6 - 10 \cdot 4$

خطوة 2.4.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1.1

اضرب $- 4$ في $6$ .

$a_{21} = - 24 - 10 \cdot 4$

خطوة 2.4.2.2.1.2

اضرب $- 10$ في $4$ .

$a_{21} = - 24 - 40$

خطوة 2.4.2.2.2

اطرح $40$ من $- 24$ .

$a_{21} = - 64$

خطوة 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 9 & 6 \end{array} |$

خطوة 2.5.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 5 \cdot 6 - 9 \cdot 4$

خطوة 2.5.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1.1

اضرب $5$ في $6$ .

$a_{22} = 30 - 9 \cdot 4$

خطوة 2.5.2.2.1.2

اضرب $- 9$ في $4$ .

$a_{22} = 30 - 36$

خطوة 2.5.2.2.2

اطرح $36$ من $30$ .

$a_{22} = - 6$

خطوة 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ 9 & 10 \end{array} |$

خطوة 2.6.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 5 \cdot 10 - 9 \cdot - 4$

خطوة 2.6.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1.1

اضرب $5$ في $10$ .

$a_{23} = 50 - 9 \cdot - 4$

خطوة 2.6.2.2.1.2

اضرب $- 9$ في $- 4$ .

$a_{23} = 50 + 36$

خطوة 2.6.2.2.2

أضف $50$ و $36$ .

$a_{23} = 86$

خطوة 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ 5 & 5 \end{array} |$

خطوة 2.7.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = - 4 \cdot 5 - 5 \cdot 4$

خطوة 2.7.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.2.1.1

اضرب $- 4$ في $5$ .

$a_{31} = - 20 - 5 \cdot 4$

خطوة 2.7.2.2.1.2

اضرب $- 5$ في $4$ .

$a_{31} = - 20 - 20$

خطوة 2.7.2.2.2

اطرح $20$ من $- 20$ .

$a_{31} = - 40$

خطوة 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

خطوة 2.8.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 5 \cdot 5 - 3 \cdot 4$

خطوة 2.8.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.2.1.1

اضرب $5$ في $5$ .

$a_{32} = 25 - 3 \cdot 4$

خطوة 2.8.2.2.1.2

اضرب $- 3$ في $4$ .

$a_{32} = 25 - 12$

خطوة 2.8.2.2.2

اطرح $12$ من $25$ .

$a_{32} = 13$

خطوة 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

خطوة 2.9.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 5 \cdot 5 - 3 \cdot - 4$

خطوة 2.9.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.2.1.1

اضرب $5$ في $5$ .

$a_{33} = 25 - 3 \cdot - 4$

خطوة 2.9.2.2.1.2

اضرب $- 3$ في $- 4$ .

$a_{33} = 25 + 12$

خطوة 2.9.2.2.2

أضف $25$ و $12$ .

$a_{33} = 37$

خطوة 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 20 & 27 & - 15 \\ 64 & - 6 & - 86 \\ - 40 & - 13 & 37 \end{array}]$